確率のクイズで有名な問題がある。
２人の子ども問題。
「ある家庭に2人の子供がいる。そのうちの1人が男の子であることが分かっているとき、もう1人も男の子である確率はいくらか」
いかにも単純な問題のようでありながら、論争が絶えない。
答えが1/2か1/3かで、議論が起きる。
男の子か女の子が生まれる確率はは単純に半々だから、もう1人が男の子である確率も当然ながら1/2だろうと考えると、「ブー！」となる。
答えは1/3だという根拠はこうだ。
2人の子供の組み合わせは、次の4通り。
（兄、弟）（兄、妹）（姉、弟）（姉、妹）
このうち、1人は男の子だということが分かっているから、（姉、妹）の組み合わせが消える。
残りは3通り。
そのうち、もう一人が男の子であるのは（兄、弟）の組み合わせだけ。
よって、1/3が正解となる。
たいていの人は、単純に1/2だろうと思っていた自分の感覚との違いに驚く。
これが確率のパラドックスだ。
ところがである。
クイズの内容を少し変えると、正解が変わってしまうのである。
「ある家庭に2人の子供がいる。その家からたまたま男の子が出てくるのを見かけた。では、もう1人も男の子である確率はいくらか」
先ほどの問題と同じで、正解は1/3だろうと思うと違う。
この場合は1/2となってしまうのだ。
たまたま出てきた子供が男の子の場合、その子がお兄ちゃんだとすると、もう一人の子供は弟か妹の2通り。
その子が弟だとすると、もう一人の子供はお兄ちゃんか、お姉ちゃんの2通り。
どちらにしても、もう一人が男の子である確率は1/2ということになる。
クイズの質問の仕方を少し変えるだけで、答えが全く違ったものになるという不思議な問題。
確率問題を解説する一般書やセミナーの中には、この種のクイズを紹介していることが多いが、この違いを明確に解説しないままに紹介している場合がある。
後半のクイズは、1/2が答で不思議でもなんでもないので、たいていは使われない。
そこで、受け狙いの講師や著者は、前半のクイズの答1/3のインパクトだけを狙って紹介する。
でも、意外性という受け狙いのため紹介しているので、解説が不十分になってしまう。
たぶん、このクイズを紹介する人が、前半と後半の問題の違いを理解せずに解説しているのだ。
それで、それを読んだり聞かされたりする人が却って混乱をする。
これが、1/2か1/3かで論争がおきてしまう原因である。
もっと丁寧な解説は、こちらを。
「リスク感覚を磨く練習問題」問題2
http://riskliteracy.seesaa.net/article/159941380.html
2009年12月12日
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いつも楽しく拝見しています。
この問題ですが、前半の1/3という回答が誤り、ということで良いのでしょうか？
1/3という回答では、最初に妹姉という選択肢だけを棄却するのが間違い。
棄却すべきは、最初の男の子が弟だった場合は兄を含む選択肢２つを棄却し、
最初の男の子が兄だった場合は、弟を含む選択肢２つを棄却する。
よって、残る確率はどちらの場合でも1/2となる。
答えがどこにも書いてないのが少し気になったもので、
コメントさせて頂きました。
では、これからもがんばって下さい。
答えはちゃんと書いてありますよ。
ちゃんと読みましょう。
あなたの答えが間違いということでＯＫです。
あらためて追記。
答えが1/3になることは、完全な間違い。
（姉妹）の組み合わせが云々、と、兄だったら～云々とという解説は、
どちらの問題でも互いに交換可能。
前問は、トンデモ論理の「（姉妹）の組み合わせが云々」を使っているだけ。
元々、２人の子どもの性別の間に、因果／相関関係は無く独立事象のため、
確率は1/2で間違いない。
（そもそも２つの問に違いはない。）
元祖氏は、まあ算数を勉強し直せばよいのでしょうが、
平野氏までこんな霊感商法？（笑）まがいの戯れ言を
使っていては、信用に関わるのでは？
さすがに訂正したほうが良いと思いますが。
ちなみに、「パラドクス」という言葉の使い方も、完全に誤り。
この「二人の子供問題」って、とても有名な問題なんですよ。
初めての人は大抵引っかかります。
別に、平野氏の創作というわけではありません。
解答・解説もよく知られた内容です。
普通の人はこの解説を読んで納得するのですが、ここまで信じない人は初めて見ました。（爆）
もっとも、平野氏の創作と思われる「副業禁止規定」のほうは、確かにトンデモ論理と思いますがね。
たいへん申し訳ありませんでした。
数学的には、答えは「1/3」で良いと思います。
（正確には、"約1/3"だと思います。イイワケさせて頂くと、実は私は双子なので、、、（笑）
双子の場合は、（数学的には）1/2になりますので、1/3は、1/2×双子率での修正が必要。
実際には、男女２卵生双生児の方が確率が低いのでさらに修正が、、、）
で、改めて件のブログを読み直すと、この説明ではまずわかりにくいですね。
最初の問題の答えのポイントとしては、
元々の、女女、男男、女男 の各確率が、1/4,2/4,1/4 であって、
最初から同じ確率ではない、ということを説明しなければ解説にはならないでしょう。
（つまり、出産順序が意味を持つことを示す必要がある。）
そして次に、やはり１番目と２番目の問題で答えが異なるのは、間違いだと思います。
異なる部分は、次の文言のみ。↓
「そのうちの1人が男の子であることが分かっているとき、」
「その家からたまたま男の子が出てくるのを見かけた。」
上記２文が意味することに相違はないと思いますが、いかがでしょうか？
相違がなければ、問題２の解説が誤りで、答えは（約）1/3では？
（また勘違いしているようでしたらば、ご教授お願いいたします。m(_ _)m）
女女、男男、女＋男（順不同） の各確率は、1/4,1/4,2/4 ですね。
あと、やはり「パラドクス」は間違いですね。
認知心理学的に間違いやすい単なる確率の問題でしたね。
でも
>そのうちの1人が男の子であることが分かっているとき、」
>「その家からたまたま男の子が出てくるのを見かけた。」
>上記２文が意味することに相違はないと思いますが、いかがでしょうか？
これは全く違います。
平野氏のわかりやすい説明でもわかりませんでしたか？
平野氏の解説を引用します。
>たまたま出てきた子供が男の子の場合、その子がお兄ちゃんだとすると、もう一人の子供は弟か妹の2通り。
>その子が弟だとすると、もう一人の子供はお兄ちゃんか、お姉ちゃんの2通り。
>どちらにしても、もう一人が男の子である確率は1/2ということになる。
これで理解できなければコイン投げで説明します。
表に男、裏に女と書いてあるコインを想定してください。
この男女コインが２枚あります。
>そのうちの1人が男の子であることが分かっているとき、」
これは、２枚の男女コインを投げて、その結果を見せずに声で教えた場合に相当します。声で、少なくとも１枚は表（男）だと言った場合です。
もう１枚が表（男）である確率は１／３です。
これは理解されたのですよね。
>「その家からたまたま男の子が出てくるのを見かけた。」
これは、２枚の男女コインを投げて、１枚だけ結果を見せた（表（男）だった）場合に相当します。
もう１枚は結果を見せていないのです。中の見えない壺で隠したとでも思ってください。では、壺の中のコインは表（男）でしょうか裏（女）でしょうか？
これは当然確率1/2ですよね。
まず、「平野氏のわかりやすい説明」自体は最初から理解しています。
ただその解説が、問題２の解説として、適切なのか？が疑問なわけです。
また、元祖通りすがりさんの解説自体も理解できます。
つまり
問題１ どちらかかはわからないが少なくとも一人は男の子。
問題２ 片方の子を男の子で固定。
という差ですよね？
この場合に、答えが1/3と1/2になることは理解しています。
ただ、平野氏の書いた文言では、その差を表現していないと思いますが。
なので、両方とも1/3と応えざるを得ない。
いかがでしょうか？
>また、元祖通りすがりさんの解説自体も理解できます。
２枚の男女コインに、第１子コイン（兄姉）と第２子コイン（弟妹）があると思ってください。
平野氏の解説は、第１子コインで兄が出ようと、第２子コインで弟が出ようと
隠されたもう一方のコインで姉（妹）が出る確率は1/2と言っているのです。
私の解説と実質的に同じです。
ただ、平野氏の問題文は、そういう意味を形成していない、ということです。
元祖通りすがりさんが言うように、第１子コイン、第２子コインと分けるのがわかりやすいですね。
問題１は、第１子コイン、第２子コインの"どちらかが"男の子の場合。
問題２は、（例えば）第１子コインが男の子と判明した場合。
そう分けて、違う答えの問題としようという意図であることはわかっています。
しかし、平野氏の問題文では、上記の違いが出るような正しい問題文の表記となっていない、ということですよ。
（この問題文自体、ほぼ余所からのコピペで、余所でも間違って書いているところが多いですね。）
例えば、私だったら下記のように書きますね。
問題１ 「少なくとも、そのうちの1人が男の子であることが分かっているとき、」
問題２ 「第一子は、男の子だとわかっているとき、」
こう書かないと、答えの異なる２つの問題として正しく成立しません。
1/3という答えが成立するためには、「判明している性別が第一子か第二子か不明」な状況が必要で、
1/2という答えが成立するためには、片方の性別が生まれた順番（順番はどちらでも可）と共に確定している、
ということを、ちゃんと問題の中に表記しないと成立しないわけですから。
こう書くと、問題の"面白さ"は失われてしまいますが、元々そういう問題なのだからしょうがない。
元の文のままでは、単に問題文をあいまいに書いて惑わせているだけですね。
よって、やはり問題を訂正した方が良いと思いますよ。
また、「パラドクス」という言葉の使い方も、完全に誤り。
>ということを、ちゃんと問題の中に表記しないと成立しないわけですから。
問題２のほうの文章にこだわってますね。
これはこれで問題文としては十分ですよ。
「ある家庭に2人の子供がいる。その家からたまたま男の子が出てくるのを見かけた。では、もう1人も男の子である確率はいくらか」
答えが1/2となる問題（聞き方）は色々あります。
必ずしも生まれた順番を確定させなければならないというわけではありません。
（もっとも計算法は同じというわけではありませんが）
元祖は「スミス氏の息子問題」といったかも。
・２人の子供を持つスミス氏と出会った。スミス氏は男の子を連れていた。
・２人の子供がいる家の窓から男の子が顔を出した。
・２人の子供がいる家の玄関を覗いたら男の子の靴が見えた。
・２人の子供がいる家に電話をかけたら男の子が出た。
等々
細かいことを言えば突っ込みはあるでしょうけどね。
それは言わないお約束。
（声で男女を区別できるのかとか、スミス氏が息子と娘を連れ出す確率は等しいか等々）
確率の練習？のブログを更新することで、応えてくれていたのですね。
http://riskliteracy.seesaa.net/article/159941758.html
一昨日気がつきました。
このOHP？の説明を見て、答えとこの問題の「問題点」が明確にわかりました。
結論としては、直前の段階において、私も通りすがりのkさんも、
問題の本質を十分に理解していなかったようです。
また、平野氏のこのブログの解説も記載が不十分、そして問題文もやはりあいまいだと思います。
では、まず結論から。
■この問題のポイントは、
問題１ 事前に条件は全て揃っている状況での、事前確率を聞いている。
問題２ 後で、条件の一部を「検証」した結果を記載し、その後の新たな確率を聞いている
というところですね。
確かに問題２の文には、「～見かけた」と書いているのですから、
これは事後の「検証結果」である、と言えるかも知れません。
そうなると、問題１の文の方があいまい。
「そのうちの1人が男の子であることが分かっているとき、」
というのは、確かに事前の前提条件を表現している文と理解できますが、
事後の「検証結果」の情報を表現したともとれます。
厳密には、
「そのうちの1人が男の子であることが分かったとき、」
と書けば、事後の「検証結果」に明確になりますが、最初の文でも
そのように理解することもできるので、やはりあいまいだと思います。
（この問題について、文のあいまいさは他のサイトでも指摘されているようですが。）
そして、問題２の解説は、確かに平野氏の意図を解説する文にはなっていますが、
直前の我々の書き込みのように、場合分けをして考える（間違った）ロジックと
見分けが付かないので、解説を勘違いをさせる原因となると思います。
つまり、兄または弟のどちらか一方のケースごとにカウントするという解説方法が紛らわしい。
この問題の場合は、特にどちらかのケース毎にカウントすることは必要ではない。
確かに言わんとすることはわかるのですが、兄or弟のケース毎にカウントする別のロジックが存在するので、勘違いしやすいと思います。
だから私のように、解説のロジックは理解できるが、各問題にナゼそのロジックが適用できるのか？ が疑問に映ってしまうわけです。
場合分けはせずに、OHPの絵にあるように、単純にABCDの内ABか該当するから、の方が
わかりやすく紛れがないと思います。
■わかりやすい解説
例えば、この問題を解説するに、新たに次のような問題を考えるとわかりやすいのではないかと思いました。
Ｑ 次の中から１つの袋を選びました。
Ａ 鉄の玉が１０個、木の玉が１個入った袋
Ｂ 鉄の玉が２個、木の玉が８個入った袋
Ｃ 鉄の玉が１個、木の玉が９個入った袋
Ｄ 木の玉が１０個入った袋
重たい袋を選んだので、中に鉄の玉が入っていることはわかっています。
問題１ 選んだ袋が、Ａである確率はいくらでしょうか？
選んだ袋の中から一つ取りだしてみると、鉄の玉が出てきました。
問題２ 選んだ袋が、Ａである確率はいくらでしょうか？
これだと、Ａである確率が1/3よりも大きいことが直感的にもわかると思います。
「火曜日生まれの～」という（元の？）問題についても、上記と同様ですね。
「火曜日生まれ」という情報が、事前情報であれば、生まれた曜日は求める確率（性別）に無関係な情報なので、確率は1/3。
「火曜日生まれ」という情報が、事後の「テスト結果」であれば、上記と同様、ベイズ定理を適用して、確率は13/27。
まあ、一番の問題は、ベイズ定理も認知心理学も知っていたのにも関わらず、
初歩の初歩で勘違いしてた自分だとは思いますが、、、（笑）
こんなかんじでFAでしょうか。
↓ 訂正
Ａ 鉄の玉が９個、木の玉が１個入った袋
厳密に計算することを望むならベイズの定理を使えばよいのです。
・２人の子供を持つスミス氏と出会った。スミス氏は男の子を連れていた。
・２人の子供がいる家の窓から男の子が顔を出した。
・２人の子供がいる家の玄関を覗いたら男の子の靴が見えた。
・２人の子供がいる家に電話をかけたら男の子が出た。
のタイプの問題（タイプＡ）について計算します。
一応、「２人の子供がいる家に電話をかけたら男の子が出た。」について計算してみます。
上の子と下の子の組み合わせは（女、女）（女、男）（男、女）（男、男）の４通りで、それぞれの確率は 1/4 で等しい。
電話に出る確率は男の子と女の子で同じだとする。
また、上の子と下の子でも同じだとする。
すると、電話を受けた子が男の子である確率はそれぞれ、0、1/2、1/2、1 である。
だから、もう一人の子が男の子である確率（（男、男）である確率）は(1/4)(1)/{(1/4)(0)+(1/4)(1/2)+(1/4)(1/2)+(1/4)(1)}と計算して 1/2 になります。
数式で表現すると次のようになります。
P(女女) = 1/4
P(女男) = 1/4
P(男女) = 1/4
P(男男) = 1/4
P(男の子が電話に出る|女女) = 0
P(男の子が電話に出る|女男) = 1/2
P(男の子が電話に出る|男女) = 1/2
P(男の子が電話に出る|男男) = 1
これから次のように確率を求める。
P(男男|男の子が電話に出た)
＝ P(男男)P(男の子が電話に出る|男男)/P(男の子が電話に出る)
＝ (1/4)(1)/(1/2)
＝ 1/2
次に、
・上の子が男の子である場合に下の子が男である確率
の計算ですが、これはちょっと計算法が違います（タイプＢ）。
P(姉妹) =P(姉弟) =P(兄妹) =P(兄弟) = 1/4
P(「上の子は男の子」|女女) = 0
P(「上の子は男の子」|女男) = 0
P(「上の子は男の子」|男女) = 1
P(「上の子は男の子」|男男) = 1
これらからP(男男|「上の子は男の子」)を同様にして求めると答えは同じ 1/2 になりますが、問題を解くために使う確率の値が異なります。
いずれにしても、二人の子供問題（基本形）で、1/3になるか1/2になるかの違いがわからないと「火曜日生まれの男の子問題」のような応用問題は解けません。
なお、火曜日生まれの男の子問題のように、追加する条件（情報）が増えると、1/3という答えが1/2に近づいていきます。
二人の子供問題の基本形で答えが１／３となる場合、
追加する条件の確率が１／ｎであれば
（例：特定の曜日生まれならｎ＝７、午前か午後生まれならｎ＝２）
求める確率は、（２ｎ－１）／（４ｎ－１）になります。
火曜日生まれの男の子問題なら、13/27になりますね。
もっとも、追加した情報を加味すべきか否かの点は十分に検討する必要があります。
情報が増えるだけでは確率は変わりませんが
その情報を使って選択した場合（情報が条件になった場合）に初めて確率が変わります。
例えば、
1.兄弟姉妹が一人いる火曜生まれの男の子を探して来た時
2.兄弟姉妹が一人いる男の子を探して来て、その子がたまたま火曜生まれだった時
3.兄弟姉妹が一人いる子を探して来て、その子がたまたま火曜生まれで男の子だった時
の三つのケースが有った場合、もう一人が男の子である確率はそれぞれ異なります。
1.では“火曜生まれ”と“男の子”という条件で選択しており、この場合の確率は 13/27 です。
2.では“男の子”という条件のみで選択しており、この場合の確率は 1/3 です。
3.では選択の条件を付けていなく、この場合の確率は 1/2 です。
このように、どのような条件で選択したかという事が重要になります。
元祖さんはちゃんとわかっているのでしょうか？
前半部分は私がわかっているとすでに書いたことのほぼ繰り返し。
ちなみに、確率は最初から厳密に計算するべき物ですし、最初から厳密に計算していますが？
後半の問題は、
「探してくる」「たまたま」という言葉が、数学的にどういう意味／条件を表しているのか？
つまり、事後の一部テスト結果を表しているのか？ 事前情報を表しているのか？
ちゃんと考えた方がいいと思いますよ。
とういか、この表記ではあいまいなわかりにくい意味を含んでいるので、
厳密に数学的問いを形成できないでしょう。
答えは、先にも書いたとおり、（少し追記）
「男の子＋火曜日生まれ」という情報が、事前情報であれば、確率は1/3。
「男の子＋火曜日生まれ」という情報が、事後の「テスト結果」であれば、確率は13/27。
「男の子」という情報だけが、事後の「テスト結果」であれば、確率は1/2。
ですね。
というのがおかしいんです。
正しくは、
（兄、弟）（弟、兄）（兄、妹）（弟、姉）
です。
わかっている片一方の男の子を左によせてみました。
これで1/2が納得できるでしょう。
>（兄、弟）（弟、兄）（兄、妹）（弟、姉）
>です。
正しくありません。
（兄、弟）と（弟、兄）は同じです。重複して書いちゃいけません。
>これで1/2が納得できるでしょう。
これで1/2が間違いだと納得できるでしょう。
わかっている男の子が(兄・弟)の組み合わせにおいて兄である場合と弟である場合の2通りあるからです。わかりやすく書くと
わかっている男の子が
(兄・弟)の兄である場合 もう一人は男
(兄・弟)の弟である場合 もう一人は男
(兄・妹)の兄である場合 もう一人は女
(姉・弟)の弟である場合 もう一人は女
こうじゃないでしょうか？
>>そのうち、もう一人が男の子であるのは（兄、弟）の組み合わせだけ。
これで片付けてしまってるのがそもそもおかしいのだと思います。兄か弟である場合の一方しかカウントしてないのですから。
叙述トリックみたいなものですね。
結論から言うと、問題１も問題２も答えは1/3です。
二人の子供問題は、ただ一人の性別のみを確認したことが明確に記されていない限り答えは1/3です。
答えが1/2になるのは、
「その家で初めて見たのが男の子であった。このとき」
「その家に○○コンクールで優勝した男の子がいるとわかった。このとき」
のような場合に限ります。
平野さんのような文系の方が数学に疎いことについては特に何も感じません。
この問題は、解釈の違いだとか心理的要素がからむとか言われますが、本質的な問題は別にあります。
二人の子供問題は、
「私たちが日常的にコミュニケーションに使用している言語は、数学、特に代数学の条件を厳密に定義するのに十分ではない」
という問題点の氷山の一角にすぎません。
数学を正確に記述できる言語は数学以外にありえません。
理由は簡単で、
『ある家庭に2人の子供がいる。そのうちの1人が男の子であることが分かっている』
という状況にもいろいろな場合があるからです
一番のポイントは男の子が何番目の子供なのかを特定できてるのかどうかということです
特定できてるとは書かれてないし、特定できてないとも書かれてないのだから、どちらの可能性も排除しないのが自然です
つまり
『一人目の子供が男だと分かっていて、二人目の子供がどちらか分からない』場合も
もちろん
『ある家庭に2人の子供がいる。そのうちの1人が男の子であることが分かっているとき』
の中に含まれるし
『二人目の子供が男だと分かっていて、一人目の子供がどちらか分からない』場合も
もちろん
『ある家庭に2人の子供がいる。そのうちの1人が男の子であることが分かっているとき』
の中に含まれるし
『二人子供がいて、少なくとも一人は男の子がいると分かっている』場合も
もちろん
『ある家庭に2人の子供がいる。そのうちの1人が男の子であることが分かっているとき』
の中に含まれます
だから答えは1/2でも1/3でもありません
＞「ある家庭に2人の子供がいる。そのうちの1人が男の子であることが分かっている」
という条件の家庭を無作為に１００００世帯選んだら、その中には
『一人目の子供が男だと分かっていて、二人目の子供がどちらか分からない』場合もあるし
『二人子供がいて、少なくとも一人は男の子がいると分かっている』場合もあるんですよ
おかげで答えが1/2でも1/3でもないことに気づけました
『二人子供がいて、少なくとも一人は男の子がいると分かっている』場合に含まれるのだよ。
これは1/3ではなく1/2です。
なぜならば、「そのうちの1人が男の子であることが分かっているとき、 も う 1 人 も男の子である確率はいくらか」
と「もう一人」ってのが超重要で、「もう一人」の性別を確認するには、まずどちらかを選んでもう一人特定する必要がありますよね。そりゃそうだ。
ということは、一人選んで男の子だろうが女の子だろうが、「もう一人」の性別とは別に関係ないので1/2です。
この問題を作為どおりにするには、
「少なくとも一人が男の子であるとわかっている場合、二人とも男の子である確率は？」
これならちゃんと1/3です。
平野喜久氏が確率を理解していないことはわかりますが、
あなたも理解が足りませんね。
>「少なくとも一人が男の子であるとわかっている場合、二人とも男の子である確率は？」
>これならちゃんと1/3です。
そんな単純な話ではありません。
二人の子供問題では、何故「少なくとも一人が男の子」とわかったのか
その理由が極めて重要です。
わかった理由により求める確率が変わるからです。
自分から、
「私には、二人の子供がいる。少なくとも一人は男の子である。」
と勝手に言った場合には
その人の子供が二人とも男である確率は1/2。
その人が
「私には、二人の子供がいる。」
と言った時点で
「男の子はいますか？」
「います。」
という第三者の質問と本人の回答があれば、
その人の子供が二人とも男である確率は1/3。
これなら両方1/2になります。
数学上での論理パズルにおいてこの手の前提条件のミスはよくありますがその典型です。
詳しくはこちらの解説が分かりやすいかと
http://d.hatena.ne.jp/K2Da/20110507/p1
これなら両方1/2になります。
数学上での論理パズルにおいてこの手の前提条件のミスはよくありますがその典型です。
詳しくはこちらの解説が分かりやすいかと
http://d.hatena.ne.jp/K2Da/20110507/p1
両方って？
両方男：1/4
もとめる確率：(1/2)/(1/4)=1/2
1/3を信じる人と1/2を信じる人の違いは、もし２人とも男の子だった場合の驚き方が変わるだけ
元々条件つき確率というのは、結果は神によって決められているという発想をとるから、可能性と期待度を同時に語ろうとするのは無理
日本か世界かで出生後の生存率が男女で違う。
現実問題を解くならそうした要因考慮をしなければならない。
こういう風に考えるからいわゆる机上論が生まれる。
数学の問題としてヤルのは構わないがビジネスコンサルタントが之ではダメでしょう。
ビジネスコンサルタントに企業経営者が求めるものは上記の要因考慮をどれだけ持ち合わせているかだからだ。
それを言うんなら
組み合わせは（兄、弟）(弟、兄)（兄、妹）（妹、兄）（姉、弟）（弟、姉）（姉、妹）(妹、姉)の８パターンにしないと（爆）。
1/2も1/3も設問的には正解なハズなんだよね
あるふたりっ子がランダムに抽出されて
それがたまたま一人は男の子だと知ったのであれば
男二人兄弟である可能性も1/3で変わらない
っていう意図なんでしょ
でも問題では一人は男のなのが確定してるので1/2になるよ。
それが違うっていうならモンティ・ホール問題も間違えてることになる。
複雑にしようとするのか？
有名な問題ではあるが
このサイトや書籍でも１／３が正解だと
もっともらしく解説してるのは見かけるが
問題文の言葉の解釈によっては確かに１／３になるが
普通に読めば１／２であってる。
多数派が正しいとか
なんか賢そうな人がかいた本で１／３となってるからと言って
騙されないようにしてください。
1/4(男女4通り)-1/2(1人確定と女女)＝1/2で正解
1/4－1/1(女女)＝1/3(3通り)の答えは、2人の子供の性別が確定していない場合
1人男兄弟で確定だから、1/2、50％の確率で正解なのに
1/3でも正解というのがゆとりな答えなのけ？
②．たまたま先に出てきたのが男の子だった。
これは全然同じではないのです。
モンティ・ホール問題で、出題者が３つのうちから「ハズレ」を一つ開いて見せて残りの「当たり」はどれかということと、風が吹いてたまたま「ハズレ」が一つ開いたということの違いと同じ。
>①．一人は男の子だと分かっている。
分かった理由により答えが変わってきますよ。
例えば②も一人は男の子だと分かった理由になります。
しかしそれは「ハズレ」が確実に入っているうえでの計算。「ハズレ」が入っていない別の可能性は考慮に入れなくてよいのでしょうか？
男の子がいます。その子は二人きょうだいです。そのきょうだいが兄弟である確率は？であれば間違いないような気がします。
主語を男の子に置くかきょうだいに置くかで変わってくる気がします
「二人とも男の子」であれば1/2、1/3どちらでも良い
「そのうちの1人が男の子であること」の抽出が作為的か無作為かによって答えが変わる
無作為に抽出すると男女、女男の半分は抽出から外れる
>「ハズレ」が入っていない別の可能性は考慮に入れなくてよいのでしょうか？
考慮に入れてもいいのでしょうが、入っていない可能性があるだけでは確率計算は不可能です。
モンティ・ホール問題を持ち出している人は解釈が不十分です。考えるだけ無意義です。
①に複数の解釈が可能な関係で、①と②は部分的に同じ意味で部分的に違う意味です。
>男の子がいます。その子は二人きょうだいです。そのきょうだいが兄弟である確率は？
この書き方では1/2に決まります。ブログ記事の2つ目、「家から出てくるのを見かけた」と同じ意味です。
もともと紛らわしい点がないので間違えようがなく、問題文を書き換える必要性がありません。
コメントで問題視されているのは1つ目の問題文で答えが1/3になるかどうかです。
「ある人は2人の子供を持ち、男の子がいます。子供らが兄弟の組み合わせである確率は？」
この書き方なら1/3だけが答えになります。
07月26日のコメントについて
>「そのうちの1人が男の子であること」の抽出が作為的か無作為かによって答えが変わる
作為的抽出はそもそも不可能かと思いますが、何か考え方があるのでしょうか？
具体的に教えていただきたいものです。
答えが二通りあるという話が出てくるのは以下の理由によるものです。
2人の子供の中に男の子がいるとする情報のみから考えると、
男男・男女・女男の3パターンのうち1パターンが条件に該当するので1/3。
子供のうち1人について男の子と特定した場合は、男女・女男のうち男パターンそれぞれの確率に対し、
男男パターンだと兄か弟どちらでも良い（判別する必要はなし）ため確率が2倍になるので1/2。
そして「分かっている」という文言を使ってしまっているので、分かった理由を想定する余地が生まれている。
>男の子がいます。その子は二人きょうだいです。そのきょうだいが兄弟である確率は？
確かにこれでもダメですね
>ある人は2人の子供を持ち、男の子がいます。子供らが兄弟の組み合わせである確率は？
これの場合は3/4と1/4で1/3としたいところですが
「ある人は2人の子供を持ち、男の子がいます」
確かにきょうだいで考えれば1/4:1/4:1/4:0/4で3/4ですが
男女で考えると男男2/8:男女1/8：女男1/8:女女0/8で4/8（1/2）となります。
「男の子がいます」で条件付けしたかった所ですがこれだけでは不十分なようです。第三者視点がないとこの手の問題を作るのは難しいのかもしれませんね
男男女女 －人
男女男女 －カード としましょう
１２３ ４ 1/3というのはこういうことですね
男男女 女 すべてを知っている視点
男女男 女
１２３４ 一人称視点だとここまでしか解りま
男男女女 せん
？？？？
１２ ３４ なのでこういう解釈が妥当ではない
男男 女女 でしょうか？
男女 男女
職業として数学に携わる者としてコメントさせていただきます。
これは一般に「条件付き確率」と呼ばれる分野です。有名な定理に「ベイズの定理」などがあるので用いるとより理解が深まると思います。
平野さんの書かれている内容が正しいです。
ただ、「一人が男の子だとわかっているとき」と「たまたま男の子が出てきたとき」の解説で、解き方のアプローチが異なるため、混乱が生じているのではないかと思います。
以下のように考えるのはいかがでしょうか？
男女の生まれる確率が同様に確からしいことから、次の組み合わせの確率は同様に確からしい。（1/4ずつ）
（兄、弟）（兄、妹）（姉、弟）（姉、妹）
①そのうちの1人が男の子であることが分かっているとき
男の子が含まれることが確定しているので、確率の分母は（兄、弟）（兄、妹）（姉、弟）の３通り。
そのうち、もう一人が男の子であるのは（兄、弟）だから１通り。
よって確率は1/3
（平野さんと同じ解説です）
②たまたま出てきた子供が男の子の場合
たまたまで男の子が出てくるパターンは、
１（兄、弟）の兄が出てくる
２（兄、弟）の弟が出てくる
３（兄、妹）の兄が出てくる
４（姉、弟）の弟が出てくる
の４通り。つまり、確率の分母は４通り。
そのうち、もう一人が男の子であるのは１と２の２通り。
よって、確率は1/2となります。
①と②の差で混乱している方は、②で（兄、弟）の組み合わせが出てくる確率が（兄、妹）や（姉、弟）に比べて大きいということを見落としているのではないでしょうか？
仮に、世界中で子供が（男、男）の家庭しか無かったら確率は0です。
そういう条件とか、数学を日常言語で表現するには無理があると思います。
以下の様なカード問題ならスッキリすると思います。
カードが2枚有って、1枚は両面共に黒、もう1枚は片面が黒で反対面が白。
この2枚を袋に入れて、無作為で1枚取り出してテーブルに置く(カードの端で立ってる事は無し）。
その時、黒面が上になって出ていた。
⇒では、反対面が黒である確率は？
2/3です。
この表現でも日本語として曖昧な部分が有りますが、兄弟・姉妹問題よりはマシです。
日本語として
「一人が男の子だとわかっているとき」には
「たまたま男の子が出てきたとき」も含まれますので単純に①の答えを1/3としてしまうのはまずいですね。
②の答えは1/2で合っています。
答えを1/3にしたければ、子供が二人だという前提で
「男の子はいますか？ います」というような会話があれば完璧です。
おそらく、これを”数学の問題”として捉えるかどうかの違いなのだと思います。
あくまで”数学の問題”として考えれば、「一人が男の子であることが分かっているとき」というのは、要するに、前提条件が決められているということです。前提条件はあくまで前提条件なので、暗黙の了解として、その事象に至る経緯や確率などは考慮に入れません。
高校の確率分野でも扱いますが、「原因の確率」の考え方と同様です。（というか、そのものです）
事象A（原因）と事象B（結果）があり、事象Bが起きた条件下で、事象Aが起きている確率は、P(B|A)/P(B)で表現します。あくまで、分母にあるP（B）に至るまでの経緯は考慮しないということです。
ただ、よくある数学の問題として捉えないのであれば、dragmanさんのおっしゃることは理解できます。「一人が男の子だとわかっている」に至るまでの経緯を、確率的に分析する要素を加えると、より複雑で、実現象に則した問題として面白くなりそうですね。
https://methodology.site/probability-of-cause/
「一人が男の子であることが分かっているとき」には例えば以下のようなケースがありますが答えは1/3でしょうか？
暗黙の了解として、その事象に至る経緯や確率などは考慮に入れません。
・男の子を連れたスミス氏と出会った
・窓から男の子が顔を出した
・スミス氏に電話をしたら男の子が出た