2009年12月12日

確率のパラドックス(2人の子ども問題)

 確率のクイズで有名な問題がある。
 2人の子ども問題。

「ある家庭に2人の子供がいる。そのうちの1人が男の子であることが分かっているとき、もう1人も男の子である確率はいくらか」

 いかにも単純な問題のようでありながら、論争が絶えない。
 答えが1/2か1/3かで、議論が起きる。

 男の子か女の子が生まれる確率はは単純に半々だから、もう1人が男の子である確率も当然ながら1/2だろうと考えると、「ブー!」となる。
 答えは1/3だという根拠はこうだ。
 2人の子供の組み合わせは、次の4通り。

(兄、弟)(兄、妹)(姉、弟)(姉、妹)

 このうち、1人は男の子だということが分かっているから、(姉、妹)の組み合わせが消える。
 残りは3通り。
 そのうち、もう一人が男の子であるのは(兄、弟)の組み合わせだけ。
 よって、1/3が正解となる。

 たいていの人は、単純に1/2だろうと思っていた自分の感覚との違いに驚く。
 これが確率のパラドックスだ。

 ところがである。
 クイズの内容を少し変えると、正解が変わってしまうのである。

「ある家庭に2人の子供がいる。その家からたまたま男の子が出てくるのを見かけた。では、もう1人も男の子である確率はいくらか」

 先ほどの問題と同じで、正解は1/3だろうと思うと違う。
 この場合は1/2となってしまうのだ。

 たまたま出てきた子供が男の子の場合、その子がお兄ちゃんだとすると、もう一人の子供は弟か妹の2通り。
 その子が弟だとすると、もう一人の子供はお兄ちゃんか、お姉ちゃんの2通り。
 どちらにしても、もう一人が男の子である確率は1/2ということになる。

 クイズの質問の仕方を少し変えるだけで、答えが全く違ったものになるという不思議な問題。
 確率問題を解説する一般書やセミナーの中には、この種のクイズを紹介していることが多いが、この違いを明確に解説しないままに紹介している場合がある。

 後半のクイズは、1/2が答で不思議でもなんでもないので、たいていは使われない。
 そこで、受け狙いの講師や著者は、前半のクイズの答1/3のインパクトだけを狙って紹介する。
 でも、意外性という受け狙いのため紹介しているので、解説が不十分になってしまう。
 たぶん、このクイズを紹介する人が、前半と後半の問題の違いを理解せずに解説しているのだ。
 それで、それを読んだり聞かされたりする人が却って混乱をする。
 これが、1/2か1/3かで論争がおきてしまう原因である。

 もっと丁寧な解説は、こちらを。
 「リスク感覚を磨く練習問題」問題2
http://riskliteracy.seesaa.net/article/159941380.html





 
posted by 平野喜久 at 16:38| 🌁| Comment(38) | TrackBack(0) | リスクマネジメント | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする
この記事へのコメント
はじめまして。
いつも楽しく拝見しています。

この問題ですが、前半の1/3という回答が誤り、ということで良いのでしょうか?
1/3という回答では、最初に妹姉という選択肢だけを棄却するのが間違い。
棄却すべきは、最初の男の子が弟だった場合は兄を含む選択肢2つを棄却し、
最初の男の子が兄だった場合は、弟を含む選択肢2つを棄却する。
よって、残る確率はどちらの場合でも1/2となる。

答えがどこにも書いてないのが少し気になったもので、
コメントさせて頂きました。
では、これからもがんばって下さい。
Posted by 通りすがりのk at 2010年05月10日 23:34
通りすがりのkさんへ

答えはちゃんと書いてありますよ。
ちゃんと読みましょう。
あなたの答えが間違いということでOKです。
Posted by 元祖通りすがり at 2010年07月22日 21:00
久しぶりにのぞいてみたらコメントがついていてびっくり(笑)

あらためて追記。
答えが1/3になることは、完全な間違い。
(姉妹)の組み合わせが云々、と、兄だったら〜云々とという解説は、
どちらの問題でも互いに交換可能。
前問は、トンデモ論理の「(姉妹)の組み合わせが云々」を使っているだけ。
元々、2人の子どもの性別の間に、因果/相関関係は無く独立事象のため、
確率は1/2で間違いない。
(そもそも2つの問に違いはない。)

元祖氏は、まあ算数を勉強し直せばよいのでしょうが、
平野氏までこんな霊感商法?(笑)まがいの戯れ言を
使っていては、信用に関わるのでは?
さすがに訂正したほうが良いと思いますが。

ちなみに、「パラドクス」という言葉の使い方も、完全に誤り。
Posted by 通りすがりのk at 2010年08月12日 22:32
困りましたね。
この「二人の子供問題」って、とても有名な問題なんですよ。
初めての人は大抵引っかかります。
別に、平野氏の創作というわけではありません。
解答・解説もよく知られた内容です。
普通の人はこの解説を読んで納得するのですが、ここまで信じない人は初めて見ました。(爆)

もっとも、平野氏の創作と思われる「副業禁止規定」のほうは、確かにトンデモ論理と思いますがね。
Posted by 元祖通りすがり at 2010年08月25日 08:00
まず最初に、自らの無知を棚に上げ、大変失礼な暴言を吐いたことを、深くお詫びします。
たいへん申し訳ありませんでした。

数学的には、答えは「1/3」で良いと思います。
(正確には、"約1/3"だと思います。イイワケさせて頂くと、実は私は双子なので、、、(笑)
 双子の場合は、(数学的には)1/2になりますので、1/3は、1/2×双子率での修正が必要。
 実際には、男女2卵生双生児の方が確率が低いのでさらに修正が、、、)

で、改めて件のブログを読み直すと、この説明ではまずわかりにくいですね。
最初の問題の答えのポイントとしては、
元々の、女女、男男、女男 の各確率が、1/4,2/4,1/4 であって、
最初から同じ確率ではない、ということを説明しなければ解説にはならないでしょう。
(つまり、出産順序が意味を持つことを示す必要がある。)

そして次に、やはり1番目と2番目の問題で答えが異なるのは、間違いだと思います。
異なる部分は、次の文言のみ。↓

「そのうちの1人が男の子であることが分かっているとき、」
「その家からたまたま男の子が出てくるのを見かけた。」

上記2文が意味することに相違はないと思いますが、いかがでしょうか?
相違がなければ、問題2の解説が誤りで、答えは(約)1/3では?
(また勘違いしているようでしたらば、ご教授お願いいたします。m(_ _)m)
Posted by 通りすがりのk at 2010年08月28日 00:30
誤記訂正です。

女女、男男、女+男(順不同) の各確率は、1/4,1/4,2/4 ですね。

あと、やはり「パラドクス」は間違いですね。
認知心理学的に間違いやすい単なる確率の問題でしたね。
Posted by 通りすがりのk at 2010年08月28日 15:40
だいぶ理解していただけたようで何よりです。

でも

>そのうちの1人が男の子であることが分かっているとき、」
>「その家からたまたま男の子が出てくるのを見かけた。」

>上記2文が意味することに相違はないと思いますが、いかがでしょうか?

これは全く違います。
平野氏のわかりやすい説明でもわかりませんでしたか?
平野氏の解説を引用します。
>たまたま出てきた子供が男の子の場合、その子がお兄ちゃんだとすると、もう一人の子供は弟か妹の2通り。
>その子が弟だとすると、もう一人の子供はお兄ちゃんか、お姉ちゃんの2通り。
>どちらにしても、もう一人が男の子である確率は1/2ということになる。


これで理解できなければコイン投げで説明します。
表に男、裏に女と書いてあるコインを想定してください。
この男女コインが2枚あります。

>そのうちの1人が男の子であることが分かっているとき、」
これは、2枚の男女コインを投げて、その結果を見せずに声で教えた場合に相当します。声で、少なくとも1枚は表(男)だと言った場合です。
もう1枚が表(男)である確率は1/3です。
これは理解されたのですよね。


>「その家からたまたま男の子が出てくるのを見かけた。」

これは、2枚の男女コインを投げて、1枚だけ結果を見せた(表(男)だった)場合に相当します。
もう1枚は結果を見せていないのです。中の見えない壺で隠したとでも思ってください。では、壺の中のコインは表(男)でしょうか裏(女)でしょうか?
これは当然確率1/2ですよね。
Posted by 元祖通りすがり at 2010年08月30日 21:13
返信ありがとうございます。

まず、「平野氏のわかりやすい説明」自体は最初から理解しています。
ただその解説が、問題2の解説として、適切なのか?が疑問なわけです。

また、元祖通りすがりさんの解説自体も理解できます。
つまり

問題1 どちらかかはわからないが少なくとも一人は男の子。
問題2 片方の子を男の子で固定。

という差ですよね?
この場合に、答えが1/3と1/2になることは理解しています。

ただ、平野氏の書いた文言では、その差を表現していないと思いますが。
なので、両方とも1/3と応えざるを得ない。
いかがでしょうか?
Posted by 通りすがりのk at 2010年08月31日 03:50
どうも最後のところで引っかかってますね。
>また、元祖通りすがりさんの解説自体も理解できます。

2枚の男女コインに、第1子コイン(兄姉)と第2子コイン(弟妹)があると思ってください。

平野氏の解説は、第1子コインで兄が出ようと、第2子コインで弟が出ようと
隠されたもう一方のコインで姉(妹)が出る確率は1/2と言っているのです。
私の解説と実質的に同じです。

Posted by 元祖通りすがり at 2010年08月31日 07:32
ですから、その解説は理解しているのですよ。
ただ、平野氏の問題文は、そういう意味を形成していない、ということです。

元祖通りすがりさんが言うように、第1子コイン、第2子コインと分けるのがわかりやすいですね。

問題1は、第1子コイン、第2子コインの"どちらかが"男の子の場合。
問題2は、(例えば)第1子コインが男の子と判明した場合。

そう分けて、違う答えの問題としようという意図であることはわかっています。
しかし、平野氏の問題文では、上記の違いが出るような正しい問題文の表記となっていない、ということですよ。
(この問題文自体、ほぼ余所からのコピペで、余所でも間違って書いているところが多いですね。)

例えば、私だったら下記のように書きますね。

問題1 「少なくとも、そのうちの1人が男の子であることが分かっているとき、」
問題2 「第一子は、男の子だとわかっているとき、」

こう書かないと、答えの異なる2つの問題として正しく成立しません。
1/3という答えが成立するためには、「判明している性別が第一子か第二子か不明」な状況が必要で、
1/2という答えが成立するためには、片方の性別が生まれた順番(順番はどちらでも可)と共に確定している、
ということを、ちゃんと問題の中に表記しないと成立しないわけですから。

こう書くと、問題の"面白さ"は失われてしまいますが、元々そういう問題なのだからしょうがない。
元の文のままでは、単に問題文をあいまいに書いて惑わせているだけですね。

よって、やはり問題を訂正した方が良いと思いますよ。
また、「パラドクス」という言葉の使い方も、完全に誤り。
Posted by 通りすがりのk at 2010年08月31日 12:53
>1/2という答えが成立するためには、片方の性別が生まれた順番(順番はどちらでも可)と共に確定している、
>ということを、ちゃんと問題の中に表記しないと成立しないわけですから。

問題2のほうの文章にこだわってますね。
これはこれで問題文としては十分ですよ。
「ある家庭に2人の子供がいる。その家からたまたま男の子が出てくるのを見かけた。では、もう1人も男の子である確率はいくらか」


答えが1/2となる問題(聞き方)は色々あります。
必ずしも生まれた順番を確定させなければならないというわけではありません。
(もっとも計算法は同じというわけではありませんが)

元祖は「スミス氏の息子問題」といったかも。

・2人の子供を持つスミス氏と出会った。スミス氏は男の子を連れていた。
・2人の子供がいる家の窓から男の子が顔を出した。
・2人の子供がいる家の玄関を覗いたら男の子の靴が見えた。
・2人の子供がいる家に電話をかけたら男の子が出た。
等々

細かいことを言えば突っ込みはあるでしょうけどね。
それは言わないお約束。
(声で男女を区別できるのかとか、スミス氏が息子と娘を連れ出す確率は等しいか等々)
Posted by 元祖通りすがり at 2010年09月01日 09:38
平野氏は、私のコメントに直接は返信していませんが、
確率の練習?のブログを更新することで、応えてくれていたのですね。
http://riskliteracy.seesaa.net/article/159941758.html
一昨日気がつきました。
このOHP?の説明を見て、答えとこの問題の「問題点」が明確にわかりました。

結論としては、直前の段階において、私も通りすがりのkさんも、
問題の本質を十分に理解していなかったようです。
また、平野氏のこのブログの解説も記載が不十分、そして問題文もやはりあいまいだと思います。

では、まず結論から。

■この問題のポイントは、

問題1 事前に条件は全て揃っている状況での、事前確率を聞いている。
問題2 後で、条件の一部を「検証」した結果を記載し、その後の新たな確率を聞いている

というところですね。
確かに問題2の文には、「〜見かけた」と書いているのですから、
これは事後の「検証結果」である、と言えるかも知れません。
そうなると、問題1の文の方があいまい。
「そのうちの1人が男の子であることが分かっているとき、」
というのは、確かに事前の前提条件を表現している文と理解できますが、
事後の「検証結果」の情報を表現したともとれます。
厳密には、
「そのうちの1人が男の子であることが分かったとき、」
と書けば、事後の「検証結果」に明確になりますが、最初の文でも
そのように理解することもできるので、やはりあいまいだと思います。
(この問題について、文のあいまいさは他のサイトでも指摘されているようですが。)

そして、問題2の解説は、確かに平野氏の意図を解説する文にはなっていますが、
直前の我々の書き込みのように、場合分けをして考える(間違った)ロジックと
見分けが付かないので、解説を勘違いをさせる原因となると思います。

つまり、兄または弟のどちらか一方のケースごとにカウントするという解説方法が紛らわしい。
この問題の場合は、特にどちらかのケース毎にカウントすることは必要ではない。
確かに言わんとすることはわかるのですが、兄or弟のケース毎にカウントする別のロジックが存在するので、勘違いしやすいと思います。
だから私のように、解説のロジックは理解できるが、各問題にナゼそのロジックが適用できるのか? が疑問に映ってしまうわけです。
場合分けはせずに、OHPの絵にあるように、単純にABCDの内ABか該当するから、の方が
わかりやすく紛れがないと思います。

■わかりやすい解説

例えば、この問題を解説するに、新たに次のような問題を考えるとわかりやすいのではないかと思いました。

Q 次の中から1つの袋を選びました。

A 鉄の玉が10個、木の玉が1個入った袋
B 鉄の玉が2個、木の玉が8個入った袋
C 鉄の玉が1個、木の玉が9個入った袋
D 木の玉が10個入った袋

重たい袋を選んだので、中に鉄の玉が入っていることはわかっています。

問題1  選んだ袋が、Aである確率はいくらでしょうか?

選んだ袋の中から一つ取りだしてみると、鉄の玉が出てきました。

問題2 選んだ袋が、Aである確率はいくらでしょうか?  

これだと、Aである確率が1/3よりも大きいことが直感的にもわかると思います。


「火曜日生まれの〜」という(元の?)問題についても、上記と同様ですね。
「火曜日生まれ」という情報が、事前情報であれば、生まれた曜日は求める確率(性別)に無関係な情報なので、確率は1/3。
「火曜日生まれ」という情報が、事後の「テスト結果」であれば、上記と同様、ベイズ定理を適用して、確率は13/27。


まあ、一番の問題は、ベイズ定理も認知心理学も知っていたのにも関わらず、
初歩の初歩で勘違いしてた自分だとは思いますが、、、(笑)

こんなかんじでFAでしょうか。
Posted by 通りすがりのk at 2010年09月03日 07:44
A 鉄の玉が10個、木の玉が1個入った袋

↓ 訂正

A 鉄の玉が9個、木の玉が1個入った袋
Posted by 通りすがりのk at 2010年09月03日 07:47
真に理解されたのかどうかわかりませんが、
厳密に計算することを望むならベイズの定理を使えばよいのです。

・2人の子供を持つスミス氏と出会った。スミス氏は男の子を連れていた。
・2人の子供がいる家の窓から男の子が顔を出した。
・2人の子供がいる家の玄関を覗いたら男の子の靴が見えた。
・2人の子供がいる家に電話をかけたら男の子が出た。

のタイプの問題(タイプA)について計算します。
一応、「2人の子供がいる家に電話をかけたら男の子が出た。」について計算してみます。

上の子と下の子の組み合わせは(女、女)(女、男)(男、女)(男、男)の4通りで、それぞれの確率は 1/4 で等しい。
電話に出る確率は男の子と女の子で同じだとする。
また、上の子と下の子でも同じだとする。
すると、電話を受けた子が男の子である確率はそれぞれ、0、1/2、1/2、1 である。
だから、もう一人の子が男の子である確率((男、男)である確率)は(1/4)(1)/{(1/4)(0)+(1/4)(1/2)+(1/4)(1/2)+(1/4)(1)}と計算して 1/2 になります。
数式で表現すると次のようになります。

P(女女) = 1/4
P(女男) = 1/4
P(男女) = 1/4
P(男男) = 1/4
P(男の子が電話に出る|女女) = 0
P(男の子が電話に出る|女男) = 1/2
P(男の子が電話に出る|男女) = 1/2
P(男の子が電話に出る|男男) = 1
これから次のように確率を求める。

  P(男男|男の子が電話に出た)
= P(男男)P(男の子が電話に出る|男男)/P(男の子が電話に出る)
= (1/4)(1)/(1/2)
= 1/2

次に、
・上の子が男の子である場合に下の子が男である確率
の計算ですが、これはちょっと計算法が違います(タイプB)。

P(姉妹) =P(姉弟) =P(兄妹) =P(兄弟) = 1/4
P(「上の子は男の子」|女女) = 0
P(「上の子は男の子」|女男) = 0
P(「上の子は男の子」|男女) = 1
P(「上の子は男の子」|男男) = 1
これらからP(男男|「上の子は男の子」)を同様にして求めると答えは同じ 1/2 になりますが、問題を解くために使う確率の値が異なります。


いずれにしても、二人の子供問題(基本形)で、1/3になるか1/2になるかの違いがわからないと「火曜日生まれの男の子問題」のような応用問題は解けません。

なお、火曜日生まれの男の子問題のように、追加する条件(情報)が増えると、1/3という答えが1/2に近づいていきます。

二人の子供問題の基本形で答えが1/3となる場合、
追加する条件の確率が1/nであれば
(例:特定の曜日生まれならn=7、午前か午後生まれならn=2)
求める確率は、(2n−1)/(4n−1)になります。
火曜日生まれの男の子問題なら、13/27になりますね。

もっとも、追加した情報を加味すべきか否かの点は十分に検討する必要があります。

情報が増えるだけでは確率は変わりませんが
その情報を使って選択した場合(情報が条件になった場合)に初めて確率が変わります。
例えば、
1.兄弟姉妹が一人いる火曜生まれの男の子を探して来た時
2.兄弟姉妹が一人いる男の子を探して来て、その子がたまたま火曜生まれだった時
3.兄弟姉妹が一人いる子を探して来て、その子がたまたま火曜生まれで男の子だった時
の三つのケースが有った場合、もう一人が男の子である確率はそれぞれ異なります。

1.では“火曜生まれ”と“男の子”という条件で選択しており、この場合の確率は 13/27 です。
2.では“男の子”という条件のみで選択しており、この場合の確率は 1/3 です。
3.では選択の条件を付けていなく、この場合の確率は 1/2 です。

このように、どのような条件で選択したかという事が重要になります。
Posted by 元祖通りすがり at 2010年09月03日 11:34

元祖さんはちゃんとわかっているのでしょうか?

前半部分は私がわかっているとすでに書いたことのほぼ繰り返し。
ちなみに、確率は最初から厳密に計算するべき物ですし、最初から厳密に計算していますが?

後半の問題は、
「探してくる」「たまたま」という言葉が、数学的にどういう意味/条件を表しているのか?
つまり、事後の一部テスト結果を表しているのか? 事前情報を表しているのか?
ちゃんと考えた方がいいと思いますよ。
とういか、この表記ではあいまいなわかりにくい意味を含んでいるので、
厳密に数学的問いを形成できないでしょう。

答えは、先にも書いたとおり、(少し追記)
「男の子+火曜日生まれ」という情報が、事前情報であれば、確率は1/3。
「男の子+火曜日生まれ」という情報が、事後の「テスト結果」であれば、確率は13/27。
「男の子」という情報だけが、事後の「テスト結果」であれば、確率は1/2。
ですね。
Posted by 通りすがりのk at 2010年09月03日 13:27
最初のほうの問題は仮定がおかしいんです。(兄、弟)(兄、妹)(姉、弟)(姉、妹)
というのがおかしいんです。
正しくは、
(兄、弟)(弟、兄)(兄、妹)(弟、姉)
です。
わかっている片一方の男の子を左によせてみました。
これで1/2が納得できるでしょう。
Posted by よういち at 2011年10月02日 21:08
>正しくは、
>(兄、弟)(弟、兄)(兄、妹)(弟、姉)
>です。

正しくありません。
(兄、弟)と(弟、兄)は同じです。重複して書いちゃいけません。

>これで1/2が納得できるでしょう。

これで1/2が間違いだと納得できるでしょう。
Posted by 通りすがり at 2011年10月10日 14:38
最初の問題も1/2だと思います。

わかっている男の子が(兄・弟)の組み合わせにおいて兄である場合と弟である場合の2通りあるからです。わかりやすく書くと

わかっている男の子が

(兄・弟)の兄である場合 もう一人は男
(兄・弟)の弟である場合 もう一人は男
(兄・妹)の兄である場合 もう一人は女
(姉・弟)の弟である場合 もう一人は女

こうじゃないでしょうか?

>>そのうち、もう一人が男の子であるのは(兄、弟)の組み合わせだけ。

これで片付けてしまってるのがそもそもおかしいのだと思います。兄か弟である場合の一方しかカウントしてないのですから。
叙述トリックみたいなものですね。



Posted by 斉藤 at 2012年02月12日 07:09
平野さんの文章以外はほとんど読んでいません。
結論から言うと、問題1も問題2も答えは1/3です。
二人の子供問題は、ただ一人の性別のみを確認したことが明確に記されていない限り答えは1/3です。
答えが1/2になるのは、
「その家で初めて見たのが男の子であった。このとき」
「その家に○○コンクールで優勝した男の子がいるとわかった。このとき」
のような場合に限ります。
平野さんのような文系の方が数学に疎いことについては特に何も感じません。
Posted by 二人の子供問題 at 2012年03月12日 21:27
せっかくなので、真面目に書きます。
この問題は、解釈の違いだとか心理的要素がからむとか言われますが、本質的な問題は別にあります。
二人の子供問題は、
「私たちが日常的にコミュニケーションに使用している言語は、数学、特に代数学の条件を厳密に定義するのに十分ではない」
という問題点の氷山の一角にすぎません。
数学を正確に記述できる言語は数学以外にありえません。
Posted by 二人の子供問題 at 2012年03月12日 21:55
結論から言うと答えは1/2でも1/3でもありません

理由は簡単で、

『ある家庭に2人の子供がいる。そのうちの1人が男の子であることが分かっている』

という状況にもいろいろな場合があるからです

一番のポイントは男の子が何番目の子供なのかを特定できてるのかどうかということです

特定できてるとは書かれてないし、特定できてないとも書かれてないのだから、どちらの可能性も排除しないのが自然です

つまり

『一人目の子供が男だと分かっていて、二人目の子供がどちらか分からない』場合も

もちろん

『ある家庭に2人の子供がいる。そのうちの1人が男の子であることが分かっているとき』

の中に含まれるし

『二人目の子供が男だと分かっていて、一人目の子供がどちらか分からない』場合も

もちろん

『ある家庭に2人の子供がいる。そのうちの1人が男の子であることが分かっているとき』

の中に含まれるし

『二人子供がいて、少なくとも一人は男の子がいると分かっている』場合も

もちろん

『ある家庭に2人の子供がいる。そのうちの1人が男の子であることが分かっているとき』

の中に含まれます

だから答えは1/2でも1/3でもありません
Posted by skillkiller at 2012年03月20日 21:45
↑二つ上のコメントを読みましょう。
Posted by skiller at 2012年04月06日 10:57
どの場合も1/2ってことだよ
Posted by だから at 2012年06月11日 01:19
例えばですよ

>「ある家庭に2人の子供がいる。そのうちの1人が男の子であることが分かっている」

という条件の家庭を無作為に10000世帯選んだら、その中には

『一人目の子供が男だと分かっていて、二人目の子供がどちらか分からない』場合もあるし

『二人子供がいて、少なくとも一人は男の子がいると分かっている』場合もあるんですよ

Posted by skillkiller at 2012年07月03日 17:04
真面目にかいたやつですよね?もちろん読みましたよ

おかげで答えが1/2でも1/3でもないことに気づけました
Posted by @skiller at 2012年07月03日 20:02
『一人目の子供が男だと分かっていて、二人目の子供がどちらか分からない』場合というのは、
『二人子供がいて、少なくとも一人は男の子がいると分かっている』場合に含まれるのだよ。
Posted by そもそも at 2012年07月07日 08:40
「ある家庭に2人の子供がいる。そのうちの1人が男の子であることが分かっているとき、もう1人も男の子である確率はいくらか」

これは1/3ではなく1/2です。

なぜならば、「そのうちの1人が男の子であることが分かっているとき、 も う 1 人 も男の子である確率はいくらか」

と「もう一人」ってのが超重要で、「もう一人」の性別を確認するには、まずどちらかを選んでもう一人特定する必要がありますよね。そりゃそうだ。

ということは、一人選んで男の子だろうが女の子だろうが、「もう一人」の性別とは別に関係ないので1/2です。


この問題を作為どおりにするには、
「少なくとも一人が男の子であるとわかっている場合、二人とも男の子である確率は?」
これならちゃんと1/3です。
Posted by QQQ at 2013年08月14日 22:04
QQQ氏へ

平野喜久氏が確率を理解していないことはわかりますが、
あなたも理解が足りませんね。

>「少なくとも一人が男の子であるとわかっている場合、二人とも男の子である確率は?」
>これならちゃんと1/3です。

そんな単純な話ではありません。

二人の子供問題では、何故「少なくとも一人が男の子」とわかったのか
その理由が極めて重要です。
わかった理由により求める確率が変わるからです。


自分から、
「私には、二人の子供がいる。少なくとも一人は男の子である。」
と勝手に言った場合には
その人の子供が二人とも男である確率は1/2。

その人が
「私には、二人の子供がいる。」
と言った時点で
「男の子はいますか?」
「います。」
という第三者の質問と本人の回答があれば、
その人の子供が二人とも男である確率は1/3。
Posted by φ at 2015年02月11日 08:20
大分古い記事ですが、これはよくある問題文ミスで
これなら両方1/2になります。
数学上での論理パズルにおいてこの手の前提条件のミスはよくありますがその典型です。

詳しくはこちらの解説が分かりやすいかと
http://d.hatena.ne.jp/K2Da/20110507/p1
Posted by at 2015年11月18日 00:22
大分古い記事ですが、これはよくある問題文ミスで
これなら両方1/2になります。
数学上での論理パズルにおいてこの手の前提条件のミスはよくありますがその典型です。

詳しくはこちらの解説が分かりやすいかと
http://d.hatena.ne.jp/K2Da/20110507/p1
Posted by 連 at 2015年11月18日 00:22
>これなら両方1/2になります。

両方って?
Posted by ??? at 2015年11月22日 07:15
無作為に選んだ片方が男:1/2
両方男:1/4
もとめる確率:(1/2)/(1/4)=1/2
Posted by at 2016年01月31日 16:12
そもそも文章から確率を導くという操作を行った時点で、その値が表すのは「可能性」の話ではなく「期待度」
1/3を信じる人と1/2を信じる人の違いは、もし2人とも男の子だった場合の驚き方が変わるだけ
元々条件つき確率というのは、結果は神によって決められているという発想をとるから、可能性と期待度を同時に語ろうとするのは無理
Posted by at 2016年04月22日 17:20
現実問題として、女子の方が男子より出生率が低いこと。
日本か世界かで出生後の生存率が男女で違う。
現実問題を解くならそうした要因考慮をしなければならない。
こういう風に考えるからいわゆる机上論が生まれる。
数学の問題としてヤルのは構わないがビジネスコンサルタントが之ではダメでしょう。
ビジネスコンサルタントに企業経営者が求めるものは上記の要因考慮をどれだけ持ち合わせているかだからだ。
Posted by uhox at 2016年10月18日 08:33
組み合わせは(兄、弟)(弟、兄)(兄、妹)(姉、弟)(姉、妹)(妹、姉)の6パターン。
Posted by at 2016年12月30日 01:58
>組み合わせは(兄、弟)(弟、兄)(兄、妹)(姉、弟)(姉、妹)(妹、姉)の6パターン。

それを言うんなら
組み合わせは(兄、弟)(弟、兄)(兄、妹)(妹、兄)(姉、弟)(弟、姉)(姉、妹)(妹、姉)の8パターンにしないと(爆)。
Posted by at 2017年03月31日 17:52
この問題、男か女か、どっちが兄か弟か姉か妹かで答え分かれるから答えが出ないだけなんだよな。(だからこそ、最初に兄弟で兄と弟という確率を求めよっていう設問にしとけば問題なかったハズなんだよね)
1/2も1/3も設問的には正解なハズなんだよね
Posted by at 2017年06月05日 15:11
二人とも男の子だった場合、問題文の「もう1人」というのは誰のことを指すのでしょうか?
Posted by viajar at 2017年06月13日 11:28
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